QUESTÕES RESOLVIDAS
Questão 1 – Sendo loga2 = 8 e loga5 = 23, então o loga 200 é igual a?
a) A) 72
b) B) 31
c) C) 23
d) D) 15
e) E) 64
Para resolver essa questão, é necessário fatorar o 200.
Loga200 = loga (2³·5²)
Utilizando-se da primeira propriedade, o produto pode ser
separado na soma de dois logaritmos de mesma base.
Loga200 = loga2³ + loga5²
Agora, aplicando a terceira propriedade, vamos “derrubar” os
expoentes:
Loga200 = 3·loga2 + 2·loga5
Substituindo os valores de loga2 = 8 e loga5 = 23, temos
que:
Loga200 = 3 · 8 + 2 · 23
Loga200 = 24 + 46
Loga200 = 72
Resolução: Alternativa A.
Questão 2
- Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de 3000 ℃ e
diminui 1% de sua temperatura a cada 30 min. Use 0,477 como aproximação para
log3 e 1,041 como aproximação para log11. O tempo decorrido, em hora, até que a
liga atinja 30 ℃ é mais próximo de:
a)
22
b)
55
c)
100
d)
200
e)
400
Resolução
Alternativa
D.
Como
a liga diminui 1% a cada intervalo de tempo, temos que 100% - 1% = 99% do valor
anterior. Já que ela diminui a temperatura a cada intervalo, então usamos a
representação na forma decimal por 0,99t, em que T(x) é a
temperatura e x é o intervalo de tempo.
Seja
T(X) a função, como a liga diminui 1% a cada intervalo de tempo, essa situação
pode ser descrita assim:
T(x)
= 3000 · 0,99t
Como
o objetivo é saber depois de quanto tempo a liga atingirá a temperatura de 30
ºC, então T(x) = 30.
Ao
encontrarmos uma equação exponencial que não é possível resolver igualando as
bases, é necessário aplicarmos o logaritmo dos dois lados. Lembrando que,
quando a base não aparece, trata-se de um logaritmo decimal.
No
entanto, log0,01 = -2, pois 10-2 = 0,01. Quando possível,
substituiremos o valor de log3 = 0,477 e log11 = 1,041. Também, quando
necessário, usaremos as propriedades vistas anteriormente.
Então
temos que:
Questão 3 - Calcule o logaritmo a seguir:
Seguindo os dois passos do exemplo anterior, vamos aplicar a
definição e tentar igualar as bases.
Questão 4 - Resolva a equação logarítmica abaixo,
determinando o valor de x:
log10 (4x – 2) = log10 2 – log10 (2x – 1)
Verificando
as condições de existência dos logaritmos, temos:
4x – 2 > 0
4x > 2
X > 2
4
X > 1
2
2x – 1 > 0
2x > 1
X > 1
2
A
subtração de logaritmos de mesma base pode ser expressa como um quociente.
Sendo assim, vamos reescrever a equação:
log10 (4x – 2) = log10 2 – log10 (2x
– 1)
Como
temos uma igualdade de logaritmos de mesma base, podemos desconsiderar os
logaritmos e igualar os logaritmandos:
4x – 2 = 2
2x – 1
(4x – 2)(2x – 1) = 2
8x² – 8x + 2 = 2
8x² – 8x = 0
8(x² – x) = 0
X² – x = 0
X1 = 0
X2 = 1
Podemos desconsiderar o x1 = 0, pois a condição de existência dos logaritmos dessa expressão mostra-nos que x > ½. Portanto, o único valor de x para o qual a igualdade log10 (4x – 2) = log10 2 – log10 (2x – 1) é válida é x = 1
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