Logaritmo Fácil

  ARQUIMEDES DE SIRACUSA (287 a.C. - 212 a.C.) Um dos mais influentes matemáticos da antiguidade, Arquimedes (287 a.C.   - 212 a.C.). Dentre das inúmeras contribuições para o desenvolvimento da ciência, contribuiu também para a elaboração de potenciação . Arquimedes estava disposto a calcular quantos grãos de areia seriam necessários para encher o universo, no qual era considerado um sistema de esferas ao redor do sol, ele calculou a média do tamanho do universo e a média do tamanho de um grão de areia, fazendo essa divisão, no qual logicamente obteve um número imenso, em que na época seria impossível mensurar na prática devido a quantidade de algarismos. Ele notou que no resultado havia muitos fatores 10 que se multiplicavam, ele denominou ‘miríades’, o que hoje conhecemos como potência, simplificando em uma tabela ele obteve a seguinte conclusão: (Figura 01)   Na medida em que Arquimedes avançava em suas pesquisas e adquiriu mais conhecimentos, elaborou as pro...

Existem atualmente duas bases usadas de modo habitual para logaritmos, são elas a base 10 e a base e. Logaritmos de base 10 é frequentemente denominado simplesmente por log , sem necessariamente ter que pôr a base abaixo, como por exemplo, se virmos algo do tipo logx , podemos assumir que a base é a (10). A segunda base chamada de e ou de constante exponencial e tem o valor aproximadamente de 2,718. Essa base é usada com mais frequência em aplicações físicas, biológicas e econômicas, pois estão em constantes mudanças. Os logaritmos de base e geralmente são escritas como ln , se virmos uma expressão como lnx , podemos assumir que a base é e . Esses logaritmos também são chamados de logaritmo natural ou logaritmo Naperianos.

Adição de Logaritmos de mesma Base Nessa primeira propriedade, dado a soma de dois logaritmos de mesma base a, dizemos que essa soma é igual ao logaritmo do produto dos dois logaritmandos com a mesma base a. Portanto: Log­­a b + loga c = loga (b ⋅ c) Essa propriedade é conhecida, também, por logaritmo de um produto.   Subtração de Logaritmos de mesma Base Caso tenha uma diferença de dois logaritmos de mesma base a, dizemos que essa diferença é igual ao logaritmo da razão entre os dois logaritmandos com a mesma base a. Representando por meio dos logaritmos: Pode-se dizer que essa propriedade tem o nome, também, de logaritmo do quociente.   Produto de um Logaritmo e um Número Se tivermos um número n multiplicando um logaritmo qualquer de logaritmando b e base a, então, é possível afirmar que essa multiplicação é igual ao logaritmo de b­ elevado a n e mesma base a. Em outros termos: N ⋅ loga b = loga bn Essa propriedade, também, é denominada por logaritmo...

Funções logarítmicas são usadas em diversas áreas da matemática, apesar de ser considerada um assunto difícil entre os alunos do ensino básico, o seu uso é muito relevante em inúmeras situações. Podemos defini-la da seguinte forma: É uma função denominada por f(x) =   log a  x , no qual a é a base do logaritmo da função, também a é positivo e a é diferente de 1.  Gráficos de uma função logarítmica: De uma forma geral, o gráfico da função y = log a  x está localizado no I e IV quadrantes, pois a função só é definida para x > 0. Além disso, a curva da função logarítmica não toca o eixo y e corta o eixo x no ponto de abscissa igual a 1, pois y = log a 1 = 0, para qualquer valor de  a .

Exemplo 1 Log4 8 + log4 32 – 2 ⋅ log4 2 = x Ao analisar a expressão, podemos verificar várias propriedades dos logaritmos: adição e subtração de logaritmos de mesma base e produto de um número com um logaritmo. Dessa forma, vamos aplica-las na expressão: Log4 8 + log4 32 – 2 ⋅ log4 2 = x (log4 8 + log4 32) – (2 ⋅ log4 2) = x Usamos, nos primeiros parênteses, a propriedade da adição de logaritmos de mesma base. Por outro lado, nos segundos parênteses, usamos a propriedade do produto de um logaritmo por um número qualquer: [log4 (8 ⋅ 32)] – (log4 22) = x Log4 256 – log4 4 = x Nesse momento, podemos aplicar a propriedade de subtração de logaritmos de mesma bases, ou seja: Log4 64 = x Agora que reduzimos a expressão para um único logaritmo, podemos aplicar a definição e encontrar o valor desse logaritmo: Log4 64 = x, então, 4x = 64 Sabendo que 64 é igual a 43, então: 4x = 43 Finalmente, encontramos que a expressão inteira equivale a x = 3.   Exemplo 2 Da...

Questão 1 – Sendo loga2 = 8 e loga5 = 23, então o loga 200 é igual a? a)       A)  72 b)       B)  31 c)        C)  23 d)       D)  15 e)       E)  64 Para resolver essa questão, é necessário fatorar o 200. Loga200 = loga (2³·5²) Utilizando-se da primeira propriedade, o produto pode ser separado na soma de dois logaritmos de mesma base. Loga200 = loga2³ + loga5² Agora, aplicando a terceira propriedade, vamos “derrubar” os expoentes: Loga200 = 3·loga2 + 2·loga5 Substituindo os valores de loga2 = 8 e loga5 = 23, temos que: Loga200 = 3 · 8 + 2 · 23 Loga200 = 24 + 46 Loga200 = 72   Resolução: Alternativa A. Questão 2 - Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de 3000 ℃ e diminui 1% de sua temperatura a cada 30 min. Use 0,477 como aproximação para log3 e 1,041 como aproximação para log11. O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30 ℃ ...